导数(Derivative)

导数

导数(Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率,导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

导数的公式如下:

这里补充上图中的Δy、dy等符号的意义及关系如下:
Δx:x的变化量;
dx:x的变化量Δx趋于0时,则记作微元dx;
Δy:Δy=f(x0+Δx)-f(x0),是函数的增量;
dy:dy=f’(x0)dx,是切线的增量;
当Δx→0时,dy与Δy都是无穷小,dy是Δy的主部,即Δy=dy+o(Δx).

详细内容参见维基百科-导数

偏导数(Partial Derivative)

导数

一个多变量的函数(多元函数)y=f(x1,x2,…,xn) 的偏导数(Partial Derivativ)是它关于其中一个变量的导数,保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。
(高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f’x(x,y) 与 f’y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f”xx,f”xy,f”yx,f”yy。)

偏导数的公式如下:

∂: 是一个弯曲的d,称为偏导数符号。为了把它与字母d区分,∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”,而不是“dee”

详细内容参见维基百科-偏导数

方向导数

导数和偏导数均是沿坐标轴正方向讨论函数的变化率。那么当我们讨论函数沿任意方向的变化率时,也就引出了方向导数的定义,即:某一点在某一趋近方向上的导数值。
我们不仅要知道函数在坐标轴正方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。

方向导数的公式如下:

导数和偏导数的区别

  1. 定义的不同
    导数,是对含有一个自变量的函数进行求导。
    偏导数,是对含有多个自变量的函数中的一个自变量求导。

  2. 几何意义的不同
    导数,函数y=f(x)在x0点的导数f’(x0)表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
    偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率